수학의 이해[제 4장] 페라리의 4차 방정식

수학의 이해[제 4장] 페라리의 4차 방정식

4차 방정식의 해법

카르다노의 제자 페라리가 1544년에 발견하였으며, 4차 방정식을 3차 방정식으로 귀착 시키는 방법을 이용했다.우선 4차 방정식을 3차 방정식으로 고친다음, 계수들의 사칙연산과 제곱근, 세제곱근을 구하는 절차를 거침으로서 그해를 구할 수 있다.

4차 방정식의 일반해

4차 방정식의 최고차항인 $x^4$의 계수를 1로 만들기 위해 모든 항을 $x^4$의 계수로 나누어 준다.이식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. $$ x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$ 여기에서 $x^3$(3차항)을 없애기 위해서 테일러의 급수(전개)를 이용해 $x = y - \frac {a}{4}$ 를 추출하여 치환하면 $$(y - \frac {a}{4})^4 + a(y - \frac {a}{4})^3 + b(y - \frac {a}{4})^2 +c(y - \frac {a}{4}) + d$$
$$\begin{matrix} (y - \frac {a}{4})^4 &=& y^4 - 4y^3\frac {a}{4} +6y^2(\frac {a}{4})^2 -4y(\frac {a}{4})^3 + (\frac {a}{4})^4\\ &=& y^4 - ay^3 + \frac {3a^2}{8}y^2 - \frac {a^3}{16}y + (\frac {a}{4})^4\\ \end{matrix}$$
$$\begin{matrix} a(y - \frac {a}{4})^3 = ay^3 - a3\frac {a}{4}y^2 + a3(\frac {a}{4})^2y - a(\frac {a}{4})^3\end{matrix}$$
$$b(y - \frac {a}{4})^2 = by^2 - b2\frac {a}{4}y + b(\frac {a}{4})^2 $$
$$c(y - \frac {a}{4}) + d = cy + c\frac {a}{4} + d$$
위 식을 정리해보면
$$y^4 - ay^3 + \frac {3a^2}{8}y^2 - \frac {a^3}{16}y + (\frac {a}{4})^4 + ay^3 - a3\frac {a}{4}y^2 + a3(\frac {a}{4})^2y - a(\frac {a}{4})^3 + by^2 - \\b2\frac {a}{4}y + b(\frac {a}{4})^2 + cy + c\frac {a}{4} + d\\ = y^4 - ay^3 + ay^3 + \frac {3a^2}{8}y^2 - a3\frac {a}{4}y^2 + by^2 - \frac {a^3}{16}y + a3(\frac {a}{4})^2y - b2\frac {a}{4}y + cy + (\frac {a}{4})^4 - \\a(\frac {a}{4})^3 + b(\frac {a}{4})^2 + c\frac {a}{4} + d\\ =y^4 +(\frac {3a^2}{8} - a3\frac {a}{4} + b)y^2 - (\frac {a^3}{16} - a3(\frac {a}{4})^2 + b2\frac {a}{4} -c)y + (\frac {a}{4})^4 - a(\frac {a}{4})^3 + b(\frac {a}{4})^2 + c\frac {a}{4} + d\\ $$
위 식을 마저 정리 해보면
$$ y^4 + \left( \frac {-3a^2 + 8b}{8} \right)y^2 + \left( \frac {a^3 - 4ab +8c}{8} \right)y + \left( \frac {- 3a^4 + 16a^2b + 64ac + 256d}{256} \right)$$

다항식의 계수가 복잡하니 치환한다

$$ \begin{matrix} p &=& \left( \frac {-3a^2 + 8b}{8} \right)\\ q &=& \left( \frac {a^3 - 4ab +8c}{8} \right)\\ r &=& \left( \frac {- 3a^4 + 16a^2b + 64ac + 256d}{256} \right) \end{matrix}$$ $$y^4 + py^2 + qy +r = 0 $$
이제 3차항이 없어진 4차 방정식을 풀면 된다. 완전제곱식으로 만들기 위해 항등식의 원리를 이용한다. $$\begin{matrix} y^4 + py^2 &=& - qy - r \\ y^4 +py^2 +py^2 + p^2 &=& py^2 -qy - r + p^2 \\ (y^2 + p) ^2 &=& py^2 -qy - r + p^2 \\ \end{matrix}$$

고교수학 I [다항식|인수정리를 이용한 인수분해]

인수분해 공식이나 치환을 사용하지 않고 인수정리나 조립제법을 반복사용해서 다항식을 인수분해 할 수 있다.
$f(\alpha) = 0$ 일 때

$$다항식 f(x)는 x - \alpha로 나누어 떨어진다.$$ $$\Leftrightarrow \ \ 다항식 f(x)는 x - \alpha를 인수로 갖는다.$$

위와 같은 인수정리에 따라 $f(\alpha) = 0 을 만족하는 \alpha$가 존재할 경우 $f(x)$를 두개 이상의 다항식으로 나타낼 수 있다.
$$ ex) \ f(x) = (x - \alpha)Q(x) $$ 다항함수 $f(x) \ 는 (x - \alpha) \ 와 Q(x)로 \ 인수분해가 된 것이다.$ 인수정리에서는 $\alpha$를 알려주는데 인수분해 에서는 적절한 숫자를 대입해 보아야 한다.
그렇다고$ f(\alpha) = 0 $이되는$\alpha$를 찾아내기 위해 모든 수를 대입해볼 수는 없지 않는가?
그래서 일반적인 쉬운 방법이 존재한다.

$1. \pm \ 1$
$2. \alpha \ = \ \pm \ \frac {상수항의 \ 약수}{최고차항의 \ 계수의 \ 약수}$
위 방법을 이용하면 보다 쉽게 $f(\alpha) = 0$이 되는 $\alpha$를 찾을 수 있다.

고교수학 I [다항식|조립제법을 이용한 나머지 정리]

다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법으로 조립제법이 있는데 이것을 이용하면 나눗셈을 할 필요 없이 몫과 나머지 를 구할 수 있다. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽다.
다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어 나가지만, 조립제법에서는 제수(나수는 다항식)와 피제수(나누어지는 다항식)를 내림차순으로 정리된 계수 만을 가지고 한다.
$x^2 + 3x - 4$를 $x - 1$로 나누는걸 조립제법을 이용해서 해보자.

결론 :  $f(x) = x^2 + 3x - 4 = 0 을 \ (x - 1)로 \ 나누었더니 \ 몫은 \ (x + 4)이고 나머지는 \ 0$
즉, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 입니다.$