수학의 이해[제 4장] 카르다노의 3차 방정식

수학의 이해 [제4장] 카르다노의 3차 방정식

3차 방정식의 일반 해법을 자세히 소개하면 다음과 같다.
3차 방정식 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a \ne 0) $ 에서 양변을 $ a $로 나누면 $ x^3 $ 의 계수를 1로 만들 수 있다.
즉 다음과 같은 3차 방정식을 얻을 수 있다. $$ x^3 + px^2 + qx + r = 0 (p = \frac {b}{a} , q = \frac {c}{a} , r = \frac {d}{a} ) $$ 이제 2차항만 소거 해주면 페로도 피오르도 타르탈리아도 카르다노도 다 아는 $x^3 + mx = n$꼴의 방정식이 된다.
그러기위해선 2차항의 계수를 알아야 하는데 이는 테일러의 급수(전개) 를 이용하면 된다.

이해가 안가면 링크를 따라가서 이해하고 오자. 테일러의 급수에 의하면 $n$차 항의 계수를 확인 하려면 $n$번 만큼 미분하라고 한다.

그럼 이제 위식을 2차항이 없는 방정식으로 고치기 위해 $x = y + k$를 이용해 변수 변환한다. 3차식이므로 $$f(k) = \sum_{n=0}^\infty \frac {f^{(n)}(k)}{n1}(x - k)^n = f(k) + f'(k)y +\frac { f''(k)}{2!}y^2 +\frac {f'''(k)}{3!}y^3 테일러 공식$$

$$f(k) = k^3 + pk^2 + qk + r $$ $$f'(k) = 3k^2 + 2pk+ q $$ $$\frac {1}{2}f''(k) =\frac {1}{2}( 6k + 2p ) = 3k + p$$ $$\frac {1}{6}f'''(k) =\frac{1}{6}6 = 1$$ 위의 계수를 각각의 자리에 대입해보면 $k = -\frac {p}{3}$이면 $y^2$의 계수가 $0$이 됨을 알 수 있다.
실제로 $ x^3 + px^2 + qx + r = 0 방정식에 x=y + (-\frac {p}{3})$를 대입하면 $$(y - \frac {p}{3})^3 + p(y - \frac {p}{3})^2 +q(y - \frac {p}{3}) + r =0$$ $$y^3 -3y^2\frac {p}{3} + 3y(\frac {p}{3})^2 + (\frac {p}{3})^3 +py^2 - 2py\frac {p}{3} + p(\frac {p}{3})^2 + qy - q\frac {p}{3} + r = 0$$이 된다. $$이 식의 y^2의 계수는 3 \times (-\frac {p}{3}) = 0이므로 y^2 항이 없는$$ $$y^3 + my - n = 0 \ \ \ (단 \ m = q - \frac {p^2}{3}, \ n = r - \frac {qp}{3} + \frac {2p^3}{27}) .............................방정식①$$ 의 꼴로 정리 할 수 있다. 새로운 두 변수 $ u ,v$에 대하여 $y = u + v$라 두고 위 식에 대입하면 $$ (u + v)^3 + m(u + v) + n = 0$$ $$u^3 + 3uv(u + v) + v^3 + m(u + v) +n = 0$$ $$u^3 + v^3 + n + (m + 3uv)(u +v) = 0$$ $$ u^3 + v^3 + n = 0 \ \longrightarrow u^3 + v^3 = -n$$ $$m + 3uv = 0 \ \longrightarrow uv = -\frac {m}{3}$$ 이므로 두근의 합$(\alpha^3 + \beta^3)$과 곱$(\alpha^3 \beta^3)$의 근과 계수의 관계를 이용하여 $$t에 관한 방정식 it^2 +jt + k = 0 의 근이 \alpha^3 + \beta^3 = -\frac {j}{i} = -n 이며 \alpha^3 \beta^3 = \frac {k}{i} = (-\frac {m^3}{27})의 관계에 있으므로$$ $$u^3, v^3 은 2차 방정식 t^2 + nt - (\frac {m^3}{27})의 두 근이 됨을 알 수 있다.$$ $$u^3 = A , v^3 = B 라 하고 위식에 근의 공식(\alpha,\beta = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})을 대입하면$$ $$ A = \frac {-n + \sqrt {n^2-4(-\frac {m^3}{27})}}{2} \ \ \ \ \ \ \ B = \frac {-n - \sqrt {n^2-4(-\frac {m^3}{27})}}{2} \ \ 이다.$$ 그러므로 $$ u = \sqrt[3]{A} = \sqrt[3]{\frac {-n + \sqrt {n^2-4(-\frac {m^3}{27})}}{2}} \ \ \ \ \ \ \ v = \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{\frac {-n - \sqrt {n^2-4(-\frac {m^3}{27})}}{2}} \ \ 이 되고$$ u의 하나의 실근을 $\sqrt[3]{A}$로 표기하면 u의 가능한 근은 $$ u = \sqrt[3]{A}, \ \sqrt[3]{A}\omega, \ \sqrt[3]{A}\omega^2 이다. \ (단, \ \omega = \frac {-1 + \sqrt{3}i}{2}, \ \omega^2 = \frac {-1 - \sqrt{3}i}{2}, \omega는 1 \ 의 허수근)$$ 마찬가지로 v의 가능한 근은 $$ v = \sqrt[3]{B}, \ \sqrt[3]{B}\omega, \ \sqrt[3]{B}\omega^2 이다.$$ 마지막으로 $uv = -\frac {m}{3}$ 을 만족하는 $u, v$의 짝을 찾아보면 $$(u, v) = (\sqrt[3]{A}, \ \ \ \ \sqrt[3]{B})$$ $$(u, v) = (\sqrt[3]{A}\omega, \ \ \ \ \sqrt[3]{B}\omega^2)$$ $$(u, v) = (\sqrt[3]{A}\omega^2, \ \ \ \ \sqrt[3]{B}\omega)$$ 방정식 ...①$y^3 + my +n = 0$ 의 한 근은 $ y = u + v = \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}$이 된다, 따라서 $y^3 + my + n = 0$의 근은 $$\begin{cases}y_1 = \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} \\ \\y_2 = \sqrt[3]{A}\omega + \sqrt[3]{B}\omega^2\\ \\y_3 = \sqrt[3]{A}\omega^2 + \sqrt[3]{B}\omega\end{cases}$$이다. 그리고 $ x = y - \frac {p}{3}$ 이라고 놓았으므로 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 (a \ne 0)$의 세근은 $$\begin{cases} {x_1 = \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}- \frac {p}{3}}\\ \\{x_2 = \sqrt[3]{A}\omega + \sqrt[3]{B}\omega^2- \frac {p}{3}}\\ \\{x_3 = \sqrt[3]{A}\omega^2 + \sqrt[3]{B}\omega- \frac {p}{3}} \end{cases} $$ 이다.