수학의 이해[제3장] 증명 [정리 3-14] 메넬라우스의 정리

수학의 이해[제3장] 증명 [정리 3-14] Menelause(메넬라우스)의 정리

한 직선이 삼각형 ABC 의 변 BC,CA,AB 또는 그 연장선과 만나는 점을 각각 X,Y,Z 라 하면

$$f(x)$$ $\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = 1 $ 이 성립한다.

역으로 삼각형 ABC 의 세변 또는 그 연장 위의 점 X, Y, Z 에 대하여 위의 등식이 성립하면 점 X, Y, Z 는 한 직선 위에 있다.

메넬라우스의 정리 증명 과정

A, B, C 에서 직선 $l$에 그은 수선의 길이를 각각 $k_1, k_2, k_3 $ 라 하면
$\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}} = \frac {k_2}{k_3}, \frac {\overline{CY}}{\overline{AY}} = \frac {k_3}{k_1}, \frac {\overline{AZ}}{\overline{BZ}}= \frac {k_1}{k_2} \Longrightarrow \frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = 1 $ 이다.

메넬라우스의 정리 역의 증명 과정

$ X,Y,Z $가 세 변 또는 그 연장 위에 있고 $\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = 1 $ 이 성립 한다고 하자. 직선 $AB$와 $XY$의 교점을 $Z'$라고 하면
$\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}} \cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ'}}{\overline{Z'B}} = 1 \Longrightarrow \frac {\overline {BX}}{\overline {XC}} = \frac {k_2}{k_3} $
즉 $Z'$ 과 $Z$ 는 일치하고 , $ X, Y, Z $ 동일 직선 상에 있다.