수학의 이해[제 4장] 보충 테일러 급수(전개)

수학의 이해[제 3장] 보충 테일러 급수(전개)

 

멱급수 전개(Power Series Expansion

테일러 급수(전개) 를 이해 하기 앞서 왜 이것이 필요한지를 생각해보자. 고대 이집트(아메스 파피루스)시대 부터 알렉산드리아(디오판토스 의 묘비)를 거처 아라비아(알 콰라즈미) 그리고 고대 중국(구장산술) 까지 1차방정식을 풀수 있었다
메소포타미아, 그리스 알렉산드리아(헤론, 디오판토스) , 인도(아리아비타, 브라마굽타 :근의 공식), 바스카라(2차방정식은 명백한 두근을 가짐) 등이 2차 방정식을 풀 수 있었다.
그러나 3차 방정식 이후 부터는 고차 방정식으로서 여러가지 변환을 통해서 풀어 보려고 여러가지 시도를 한듯하다. 그중의 하나가 수열과 미분방식으로 접근 한 테일러 급수라고 본다
그리고 알아야 할 것이 멱급수 전개 방식이다.

차수가

 이런식으로 증가 함에 따라, 가 기울기의 변화 정도는 이전의 것과 항상 다른 새로운 녀석이 되고, 그것은 점점더 격해진다. 이렇게 기울기의 변화가 모루 다른 녀석들을 잘 섞으면, 구불구불 하게 생긴 이상한 함수를 만들어 낼 수 있지 않을까?

 

달리 말하면, 임의의 함수

 를

들의 조합으로 나타내 보려는 것인데, 이러한 행위를 멱급수 전개 (Power Series Expension) 이라고 한다.

 

어떤 경우에는 유한개의 항만을 합쳐서 주어진 함수를 만들어 낼수도 있겠지만, 상황에 따라서는 무한개의 항을 합쳐야지만 원하는 함수를 만들게 될 수도있을 것이다. 이것은 간단히 무한개의 항을 세팅하는 것으로 모든 상황을 포함 시킬 수 있다. 어차피 유한개의 항만 필요한 상황이라면 나머지 항의 계수를 모두 0으로 만들어 버리면 되기 때문이다.

 

 

이제 

 의 계수를 

이라고 하면, 어차피 베이시스

는 고정되어 있으므로, 선형조합 계수들

만 모두 알면 , f(x)를 아는것과 완전히 동일해진다. 

따라서, 조합의 계수들을 구하는 것이 가장 큰 문제 이다.

 을 예로 들어보자.

 

을 기억하는 것은 완전히 동일한 것이 된다. 즉, 중요한 것은 계수를 찾는 것이다.

 

테일러 급수 (Taylor Series)

 

f(x) 의 멱급수 전개에 대해, f(x) 가 어떤 점 x = a 에서 무한번 미분가능할때 ( 미분값만 갖으면 되지, 값이 얼마인지는 상관이 없다. 주구장창 0 이어도 상관없다 ), 미분을 통해서, (x-a) 의 멱급수전개의 계수를 정할수 있는 일반적인 방법이 존재하는 데, 이를 a를 중심으로 테일러 전개를 한다라고 한다.

특히, x = 0 에서 무한번 미분가능하면, x 의 멱급수로 전개되고, 앞에서 언급한 예가 된다. 이럴때를 특히, 맥로린 급수라고 한다. ( 즉, 맥로린 급수는 0 을 중심으로 하는 테일러 급수 이다. )

우리도 심플함을 위해, x = 0 을 중심으로 전개한다고 하자.
이제 목표는, 무한번 미분가능이라는 무기를 가지고, 주어진 f(x) 에 대해, 어떻게 계수들을 모두 구하는 가이다. 멱급수 전개의 정의로 돌아가서, 양쪽이 완전히 같은 함수라는 말은, 이 식이 x 에 대한 항등식이라는 말과 같다.
x 에 0 을 때려넣어보면, 곧바로 a0 가 f(0) 라는 것을 알게 된다. 즉 주어진 함수에 0 값을 대입해서 나온 값이, 테일러 급수의 첫번째 계수가 된다.

 

이제, a1 부터 구해야 되는데, 어떻게 하면 다른계수들은 모두 죽어나가고, 원하는 계수만 죽지 않게 할 수 있을까? 그것은 바로, 한번 미분한뒤에 0 을 대입하는 것이다.

다항식의 경우 한번 미분하면 지수가 앞으로 내려오고 지수는 1씩 작아지는 것을 알고 있으므로, 한번 미분하면 다음과 같이 되고, x에 0 을 대입하면 a1을 제외한 모든 항이 날아간다. 따라서, 다음과 같이 a1 을 구할수 있다.

 

 이쯤 되면 감이 와야 정상이다. 특정 an 만 남기고 다른 모든항을 날려버리는 방법은 n 번 미분하고 x 에 0 을 대입하는 것이다.
x의 차수가 n보다 작은 것들은, n번 미분했을때 모두 0 으로 날라가 버린다.
x의 차수가 n보다 큰 것들은 , n번 미분했을때 x의 차수가 1 이상이 되어, x=0 을 대입하면 모두 날아가버린다.
x의 차수가 n 인 항은 , n번 미분했을때 x의 차수가 0 이 되어 사라지며 남는것은 원래의 계수 an 와 미분때마다 하나씩 줄어들려 앞으로 내려온 n , n-1 , n-2 , ... , 1 들의 곱, 즉, n! 이 된다.

따라서 다음과 같이 테일러 계수를 일반적으로 구할수 있다.

 

그러므로

 

이제 원래의 정의식

 

 에 앞에서 구한 계수의 일반식을 대입하면 , 아래와 같이 테일러 급수의 일반식을 구하게 된다. 

 

 

 

 

중심 a에 대한 테일러의 전개

위에서 심플함을 위해, 중심을 0 으로 놓았었는데, 이제 중심을 $a $로 전개해보도록 하자.
앞에서 어떻게 원하는 계수를 포함하는 항 이외의 모든 항들을 날려버렸는지를 이해했다면, 이것은 정말로 쉬운 일이다.<br />

특히,

들로 전개되므로, 다른 항들을 죽일때,$ x = 0$ 을 넣는것이 아니라, $x = a $를 넣어야 된다.<br / >

결과적으로 다음과 같이 된다.<br />