수학의 이해[제 4장] 기본작도. 작도 가능한 수

수학의이해 [제 4장] 기본작도. 작도 가능한 수

실수는 수직선 위에 나타낼 수 있고, 복소수는 좌표평면 위에 그려 넣을 수 있는데, 이때의 두 성분은 실수이다. 이제 적당한 단위 길이(거리가 a인 두 점을 작도할 수 있으면, a와 –a를 ‘작도수’ (constructible number)라 부르자. 이를 위해서는 거리의 기본 단위가 필요한데, 그 단위를 편의상 1이라 두자. 특히 1은 작도수다.)를 주었을 때 실수중 자(눈금이 없는)와 컴퍼스를 써서 작도 가능인 수를 알아보자

작도 가능인 두 수 x와 y의 합 x+y와 차는 작도 가능하다.

작도 가능인 두 수 x와 y의 곱 xy 나눗셈 $ \frac {y}{x}$ 도 가능하다.

곱의 작도

기본단위 1인 점 D에서 B까지 직선을 긋고 $\overline{OB}$ 에 연장선을 그은 다음 평행선 작도법을 이용해서 점A에서 $\overline {OC}$ 와 교차하고 $ \overline{DB}$ 와 평행하도록 $\overline {AC}$를 그으면 $\triangle BOD$ 와 $\triangle COA$는 닮음 임을 알 수 있다 고로 $$\overline {OD} : \overline {OA} = 1 : x 이고$$ $$\overline {OB} : \overline {OC} = y : xy 이다. $$ 고로 곱의 작도가 가능함을 알 수가 있다.

몫의 작도

몫의 작도도 곱의작도와 마찬가지로 삼각형의 닮음 원칙을 이용하면 쉽게 작도 할 수 있다.

위의 사실로부터, 임의의 유리수는 작도 가능임을 알았다.

따라서 주어진 선분 a의 유리수배 또한 작도 가능임을 알았다. 그러면 유리수만 작도 가능한 것 일까?

무리수 중에서도 작도 가능인 것이 있다. 예를 들어, 한직선 위에 차례로 세점 O, A, B 에 대하여 $\overline {OA} = 1, \overline {AB} = 2$가 되도록 정하고, $\overline {OB}$를 지름으로 하는 반원을 그린 뒤, A에 세운 수선과 원의 교점을 D라고 하면 $\overline {AD} = \sqrt {2}$가 된다.

반원에 내접하는 삼각형에서 호에 접하는 각은 90도이며 그곳에서 지름에 내린 수선의 제곱은 그 수선 을 기준으로 좌측과 우측의 곱과 같다.