군, 환, 체 의 정의

군, 환, 체 의 정의

1. 군(Group,群)

  ㅇ 어떤 성질을 만족하는 대상(object)들의 집합
     - 주로 대칭적인 연산 성질을 만족함 
        . 불변성,대칭성을 다루는 수학적 도구 (기하학적 변환에서 불변하는 것)

  ㅇ 가장 기초적인 대수 구조인 군(群)은, 1개의 연산 만을 갖는 대수 구조임
     - 例 1) 1개의 연산을 갖는 대수 구조 : 수, 함수, 벡터, 다항식 등 군(Group,群)
     - 例 2) 2개의 연산을 갖는 대수 구조 : 환(Ring), 체(Field), 벡터공간 등


2. 군의 공리 (Group Axiom)

  ※ 집합 G 및 이항연산 * 이 있을 때, 다음의 4가지 공리(성질,조건)들을 만족함

  ① 연산 * 에 대해 닫혀있음 (closure)
     -  a * b 연산 결과도 집합 G 에 속함
        . 순서쌍 (a,b)들의 곱(카테시안 곱) 연산에 대해 닫혀있음
        . 즉, 어떤 집합의 임의의 두 원소들(순서쌍) 간에 연산이 행해질 때, 
              그 결과 역시도 그 집합의 원소가 됨

  ② 연산 * 에 대해 결합법칙 성립 (associativity)
     -  a,b,c 모두 집합 G 에 속하면, a * (b * c) = (a * b) * c

  ③ 연산 * 에 대해 항등원이 존재 (identity element)
     -  e * a = a * e = a
        . 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기

  ④ 연산 * 에 대해 각 원소의 역원이 존재 (inverse element)
     -  a * a-1 = a-1 * a = E
        . 보통, a-1로 표기


3. 군의 종류

  ㅇ 가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)
     - 군에 관한 4가지 공리에 교환법칙(commutative property)도 추가적으로 만족하는 군

  ㅇ 순환 군(Cyclic Group)
     - 한 원소로 군의 모든 원소를 표시할 수 있는 군
        . 이 때 그 원소를 생성원(generator)라고 함 

  ㅇ 덧셈 군(Additive Group), 곱셈 군(Multiplicative)
     - 덧셈 군 : 군의 이항 연산이 덧셈 연산인 군
     - 곱셈 군 : 군의 이항 연산이 곱셈 연산인 군

  ㅇ 유한 군(Finite Group), 무한 군(Infinite Group)
     - 유한 군 : 군의 원소 개수가 유한
     - 무한 군 : 군의 원소 개수가 무한

  ㅇ 부분 군(Subgroup)
     - 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군


4. 군의 표기

  ㅇ 군의 표기 :  ( G,* )  또는  < G,* >  또는  { G,* }
     - G : 군의 원소 집합, * : 군의 연산

  ㅇ 군의 차수/위수(order) :  |G|  또는  O(g)  또는  Gn  또는  ord(G)
     - 어떤 집합의 원소의 전체 개수를 말함


5. 군이 대상으로 삼을 수 있는 例)

  ㅇ 정수 집합 내에서 덧셈 연산 : ( Z,+ )
     ①  두 정수의 덧셈은 정수 (닫혀있음)
     ②  a + (b + c) = (a + b) + c (결합법칙 성립)
     ③  0 + a = a * 0 = a (항등원 존재) 
     ④  임의 정수 (-a) + a = 0 (각각의 역원이 존재) 

  ㅇ 어떤 도형을 회전시키는 대칭 동작 등

1. 환(環,Ring) 이란?

  ㅇ 어떤 집합 R 및 그 집합 위에 2개의 이항연산(+,·)이 정의되는 대수 구조

  ㅇ 환의 표기 : `( R, +, · )` 또는 `< R, +, · >` 또는 `환 R`


2. 환(環)의 공리(Axiom)

  ㅇ 덧셈(+) 연산에 대해  :  ( R, + )는 가환군(아벨군)
     - 닫혀있음 (closure)
     - 항등원(`0`)이 존재 (identity)
        .  a + 0 = 0 + a = a
     - 각 성분에 대해 역원이 존재함 (inverse)
        .  a + (-a) = (-a) + a = 0
     - 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutative)
        .  a + b = b + a
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a + b) + c = a + (b + c)

  ㅇ 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, ·)
     - 닫혀있음 (closure)
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associative)
        .  (a·b)·c = a·(b·c)

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(·) 연산에 대해  :  ( R, +, · )
     - 모든 성분에 대해 분배법칙이 성립 (distributive)
        .  a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)·c = a·c + b·c 


3. 추가적인 조건에 따른 환의 종류

  ㅇ 가환환(Commutative Ring)
     - 추가적으로 곱셈(·)에 대해서도 가환(commutative)이 되는 환 : a·b = b·a  

  ㅇ 단위원을 갖는 환(Ring with Unity)
     - 추가적으로 곱셈 항등원 즉, 단위원을 갖는 환 : 1·a = a·1 = a

  ㅇ 나눗셈환(Division Ring)
     - 단위원 1을 갖는 환으로써, 곱셈 역원이 존재하는 환
        . 각 원소 a∈R,a≠0에 대해, a·a-1 = a-1·a = 1

  ㅇ 정역(Integral domain)
     - 단위원 1을 갖는 가환환으로써, 추가적으로 다음 조건을 만족
        .  a≠0,b≠0 이면 a·b≠0 을 만족함
           .. 또는, a·b = 0 이면, a = 0 또는 b = 0  (a,b ∈ R)
     - 例) 정수 집합 Z, 소수체 Zp (p는 소수), 정수 계수 다항식환 Z[x] 등

  ㅇ 체(Field)
     - 가환환인 나눗셈환

  ㅇ 사체/비가환체(Skew Field)
     - 비가환환인 나눗셈환
   


4. 환의 例 및 응용 

  ㅇ 환의 例
     - 정수환(Ring of Integer) (Z,+,·)
        . 정수의 덧셈과 곱셈에 대해 항등원을 갖는 가환환
        . 정수환은 정역이긴 하지만 체는 아님. ∵ 곱셈 역원이 존재 않음.
     - 유리수환 (Q,+,·)
     - 실수환 (R,+,·)
     - 복소수환 (C,+,·)
     - 짝수집합 (2Z,+,·)

  ㅇ 주요 응용
     - 다항식 환(Polynomial Ring)


5. 기타참고사항

  ㅇ 환 R은 다항식환 R[x]의 부분환(Subring)

1. 체 (Field)

  ㅇ 코드(부호) 등을 기술하는데 사용될 수 있는 수학적 대수 구조(Algebraic Structure)
     - 例) 실수 R, 유리수 Q, 복소수 C 와 같은 수 체계(number system)에 대한 추상화

  ㅇ 특정한 성질을 만족하는 2개의 연산이 정의되는 가환환(Communative Ring)
     - 그 요소들이 집합을 이루면서, 
     - 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍을 사용할 수 있는 구조(2개 산술연산자)


2. 체 공리 (Field Axiom)

  ㅇ 덧셈 연산(+)에 대해 :  < F,+ >
     - 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(+) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - 항등원(`0`)이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a
     - 모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a + b) + c = a + (b + c)
     - 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a + b = b + a

  ㅇ 곱셈 연산(x)에 대해 :  < F,· >
     - 닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(x) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - 항등원(`1`)이 존재 (identity) : a·1 = a = 1·a
     - 0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a-1 = 1 = a-1 a if a ≠ 0
     - 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a b) c = a (b c)
     - 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a b = b a

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(x) 연산에 대해 :  < F,+,· >
     - 모든 성분에 대해 분배법칙이 성립 (distributivity) : a (b + c) = a b + a c 

  * 위의 체 공리에서,
    - 덧셈 공리들 만을 만족하는 경우 :  아벨군(Abelian Group) 또는 가환군
    - 곱셈의 역원 존재 만을 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우 :  환(Ring)


3. 체 공리가 성립하는 例

  ㅇ 실수체   : 실수 전체의 집합
  ㅇ 복소수체 : 복소수 전체의 집합 
  ㅇ 유리수체 : 유리수 전체의집합

  *  한편, 유한개의 원소를 갖는 체 ☞ 유한체(갈로이스체)