수학의 이해[제3장] 증명 [정리 3-13] 체바의 정리

수학의 이해[제3장] 증명 [정리 3-13] 체바의 정리

삼각형 ABC 의 변 BC,CA,AB 위에 점 X,Y,Z 를 잡을 때, 세개의 선분 AX, BY, CZ 가 한점에서 만나면

$\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = 1 $ 이 성립한다.

역으로 삼각형 ABC 의 세변 위에서 $\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = 1 $ 이 되게 점 X, Y, Z 를 잡으면, 선분 AX, BY, CZ 는 한점에서 만난다.

체바의 정리 증명 과정

세선분의 교점을 P라고 하자.

이 정리에 대한 증명은 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같음을 이용하여야 한다.

$\triangle$ABC의 넓이를 편의상 (ABC) 로 나타내기로 하자.

$ \frac {\overline{BX}}{\overline{XC}} = {(ABX) \over (AXC)} = {(PBX) \over (PXC)} = {(ABX)-(PBX) \over (AXC)-(PXC)} = {(ABP) \over (PAC)} $ 이다. 같은 방법으로

$ \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} = {(BCY) \over (BAY)} = {(CPY) \over (APY)} = {(BCY)-(CPY) \over (BAY)-(APY)} = {(BCP) \over (ABP)} $

$ \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = {(CAZ) \over (CBZ)} = {(APZ) \over (BPZ)} = {(CAZ)-(APZ) \over (CBZ)-(BPZ)} = {(CAP) \over (CBP)} $이다. 이 세식을 곱하면 다음과 같다.

$\frac {\overline {BX}}{\overline {XC}}\cdot \frac {\overline{CY}}{\overline{YA}} \cdot \frac {\overline{AZ}}{\overline{ZB}} = {(ABP) \over (PAC)} \cdot {(BCP) \over (ABP)} \cdot {(CAP) \over (CBP)} = 1 $

체바의 정리 역의 증명 과정

다음 그림과 같이 선분 BY, CZ 의 교점을 P라고 하고 $\overline{AP}$를 연장하여 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $X'$ 이라 한다. 그러면

$ \frac {BX'}{X'C} \cdot \frac {CY}{YA} \cdot \frac {AZ}{ZB} = 1 $ 이다.

주어진 조건 $ \frac {BX}{XC} \cdot \frac {YA}{CY} \cdot \frac {AZ}{ZB} = 1 $ 에 의하여

$ \frac {BX'}{X'C} = \frac {BX}{XC} $를 얻는다. 그런데 X, X'은 동시에 $ \overline {BC}$의 내분점이거나 외분점이다. 그러므로 정X와 점 X'은 일치한다. 따라서 선분 AX, CZ는 한점에서 만난다.