수학II - 등차수열의 합

초항 : $a_1 = a$ 이고 공차 : $d$인 등차수열 J
수열 J의 합계 : $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dotsc + \enclose{circle}{a_n}\nearrow^l$에서 $a_n$을 $l$이라고 하자.
이때 수열 J의 합계는 $S_n = a + (a+d) + (a + 2d) + \dotsc + l$ 과도 같으며 이 것을 수열 J-1이라 하자.
또한 수열 J의 합계는 $S_n = l \space+ (l - d) \space+ (l - 2d) \space+ \dotsc + a$ 와도 같으며 이 것을 수열 J-2라 하자.
이 때 수열 J-1과 J-2를 합하면
$ \begin{alignat}{2} S_n &= a &+ (a+d) &+ (a + 2d) &+ \dotsc &+ l\\ +S_n &= l &+ (l - d) &+ (l - 2d) &+ \dotsc &+ a\\ \hline 2S_n&=(a+l) &+ (a+l) &+ (a+l) &+ \dotsc &+(a+l)\\ 2S_n&=n(a+l) \end{alignat} $
그러므로 $\huge{S_n = \frac{ \enclose{circle}{n}\nearrow^{항의갯수}(\enclose{circle}{a+l}\nearrow^{대칭되는 두항의 합})}{2}}$

등차수열의 합 관찰 Point

1. 내가 홀수개의 항을 더하는가?: 가장 일반적임
$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2$
$a_2 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5a_3$
연습문제
$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + 1 = {a_1}^2$ 일 때 $a_1$ 은?
$ \begin{alignat}{3} a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 &= a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + 1 &= {a_1}^2\\ 5a_5 &= 5a_6 +1 &= {a_1}^2\\ -1&= 5(a_6 -a_5) \end{alignat} $
$\therefore\space a_6-a_5 = d = -\frac{1}{5}$
이차 방정식의 근을 구해보면 ...
$ \begin{alignat}{3} {a_1}^2 -5(a_1 + (-1)) - 1 &= 0\\ {a_1}^2 - 5a_1+4 &=0\\ (a_1 - 4)(a_1 -1) &= 0\\ \therefore\space a_1 = 4, a_1 = 1 \end{alignat} $

2. 등차수열의 n번째항까지의 합은 상수항이 없는 n에 관한 2차식이다.
$ \begin{alignat}{3} S_n &= \frac{n(a+l)}{2}\\ &=\frac{n(a+dn+k)}{2}\\ &=\frac{d}{2}n^2 + (\dotsc)n\\ 이차항의 계수 &= \frac{공차}{2}\\ \end{alignat} $
$ \begin{alignat}{4} S_n&=\enclose{circle}p\nearrow^{\frac{공차}{2}}n_2 +qn\\ \end{alignat} $
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$ \begin{alignat}{3} a_n &= 2n-4\\ S_n &= 1n^2 + (-2-1)n\\ \end{alignat} $
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$ \begin{alignat}{3} a_n &= 4n+1\\ S_n &= 2n^2 + (5-2)n\\ \end{alignat} $
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$ \begin{alignat}{3} a_n &= 3n-1\\ S_n &= \frac{3}{2}n^2 + (2-\frac{3}{2})n\\ \end{alignat} $
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3. 상수항이 없는 이차식은 n번째 항까지의 합이다.
$ \begin{alignat}{3} S_n &= n^2+2n\\ a_n &=2n +1\\ \end{alignat} $
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$ \begin{alignat}{3} S_n &=-n^2+3n\\ a_n &=-2n +4\\ \end{alignat} $
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4. 홀수 항들만 모았는지 짝수번째 항들만 모았는지 확인
$ \begin{alignat}{3} \large\enclose{circle}{{a_1} + {a_3} + {a_5} + \dotsc+{a_{2n-1}} ={{a_n} * n}}\nearrow^{홀수항들의 합}\\ \large\enclose{circle}{{a_2} + {a_4} + {a_6} + \dotsc+{a_{2n+1}} ={{a_{n+1}} * n}}\nearrow^{짝수항들의 합}\\ \large\enclose{circle}{{a_1} + {a_3} + {a_5} + \dotsc+{a_{2n-1} +{a_{2n+1}}} ={{a_{n+1}} * (n+1)}}\nearrow^{홀수항들의 합과 다음홀수항의 합}\\ \end{alignat} $
5. 수열의 합과 일반항의 관계
수열의 제 1항부터 n항까지의 합을 안다면 일반항 부터 찾는다.
$ \begin{alignat}{3} S_n &= a_1 &+ a_2 &+ a_3& + \dotsc& + a_{n-1} &+ a_n\\ S_{n-1} &= a_1 &+ a_2 &+ a_3 &+ \dotsc &+ a_{n-1} \\ \hline S_n-S_{n-1} &= &+&+&+&+&+a_n\\ {\huge\lbrace}\matrix{{\color{blue}{\therefore a_n = S_n-S_{n-1} \space(n\geqq2)}}\cr a_1 = S_1}\\ \end{alignat} $

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