수학II - 조화수열: 등차수열의 한종류

조화수열: 등차수열의 한종류

일정하지 않은 수열에 역수를 취하였을 때 등차인 수열
$a_1,\space\space a_2,\space\space a_3,\space\space a_4,\dotsc,\space\space a_n$
$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_4}, \dotsc, \frac{1}{a_n}$
수열의 각 항이$12,\space\space 6,\space\space 4,\space\space 3,\dotsc\dotsc$ 일 경우 각 항의 역수를 취해보면
$\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \dotsc\dotsc$이며
$\frac{1}{6} - \frac{1}{12}= \frac{1}{12},\space \frac{1}{4} - \frac{1}{6}= \frac{1}{12}\dotsc\dotsc$이며
$a_n - a_{n-1} = \frac{1}{12}$이다. 그러므로 이 수열의 공차는 $\frac{1}{12}$이며 일반항은 초항이 $\frac{1}{12}$인 $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{12}n$이다.
그러므로 $12,\space\space 6,\space\space 4,\space\space 3,\dotsc\dotsc$의 일반항은 초항이 $12$인 $a_n = \frac{12}{n}$이다.

수열 J = $a, x, b$ 가 조화수열을 이룰 때

수열 J 가 조화수열이라면 이 수열의 역수 $\frac{1}{a}, \frac{1}{x}, \frac{1}{b}$는 등차수열을 이루므로
$2\frac{1}{x} = \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$이고 이것은 수열 J의 역수이므로 다시 역수$\frac{x}{2} = \frac{ab}{a+b}$를 취해서 정리하면 $x = 2\frac{ab}{a+b}$이고 이것을 수열 J의 조화중항이라고 한다.