수학II - 등비수열

수학II - 등비수열

$a_1 = a$ 일정한 수 $\enclose{circle}r\nearrow^{공비}$를 곱해서 만든 수들의 집합
$ \begin{array}{|lr|} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 &\dotsc &a_n\cr a & ar^1 & ar^2 & ar^3 &\dotsc &ar^{n-1} \end{array} \space\therefore \space a_n = a_1 * r^{n-1}\\ \color{blue}{변수가\, 지수\, 자리에\, 있다\, =\, 등비수열}\\ $
등차수열 $ \begin{array}{|lr} a_n & - a_5 &= (n - 5)d\cr a_n & - a_1 &= (n - 1)d \end{array} \,\,\,\, $ 등비수열 $ \begin{array}{|lr} a_n &= a_5 &*r^ {n - 5}\cr a_n &= a_1 &*r^ {n - 1} \end{array} $

등비의 표현

$a, x, b $가 순서로 등비를 이룰 때
$ \begin{alignat}{3} \frac{x}{a} &= \frac{b}{x}\\ x^2 &= ab\\ x &= \pm\sqrt{ab} \end{alignat} $

$a\; ar\; ar^2$ 세 수가 등비수열을 이룰 때.
$(ar)^2 = a * ar^2 = (ar)^2$

$a_n\; a_{n+1}\; a_{n+2} $가 등비수열을 이룰 때
$a_{n+1} = a_n a_{n+2}$

등차수열 ${\huge\lbrace}\matrix {a_1\hspace3ex a_2\hspace3ex a_3\hspace3ex a_4\cr {\color{blue}{a_1\,+a_4 \,=a_2\,+\,a_3}}}$ $\hspace6ex{\huge\lbrace}\matrix {a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\cr {\color{blue}{=5a_3}}}$

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등비수열 ${\huge\lbrace}\matrix {a_1\hspace3ex a_2\hspace3ex a_3\hspace3ex a_4\cr {\color{blue}{a_1a_4 \,=a_2a_3}}}$ $\hspace7ex{\huge\lbrace}\matrix {a_1 * a_2 * a_3 * a_4 * a_5\cr {\color{blue}{=(a_3)^5}}}$

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등비$ \huge{\frac{a_{10}\hspace1em a_{12}\hspace1em a_{14}}{a_3\hspace1em a_4\hspace1em a_5}= (\frac{a_{12}}{a_4})^3 = (r^8)^3 = r^{24}} $

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$a\gt0, b\gt 0$일 때
$A = \frac{a+b}{2}(산술평균=등차중항)\hspace2em G = \sqrt{ab}(기하평균:등비중항)\hspace2em H = \frac{2ab}{a+b}(조화중항)$
$A \geqq G \geqq H$