선형대수 10강 연습문제 풀이

선형대수 10강 연습문제

Question 1.    다음중 선형변환이 아닌것은?

1. $T(x, y) = (0, y)$
2. $T(x, y) = (y, x)$
3. $T(x, y) = (2x, y)$
4. $T(x, y) = (x + 1, y)$

Solution

1. $\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$
2. $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$
3. $\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0& 1 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$
   두 벡터 $A = (a, b), B = (c, d)$에 대한 $T$의 값은 각각 $T(A) = (2a, b), T(B) = (2c, d)$이고, $T(A) + T(B) = (2(a + c), b + d)$이다. 한편, $A + B = (a + c, b + d)$ 이고, $T(x, y) = (2x , y)$에 의해서 $T(A + B) = (2(a + c), b + d) = T(A) + T(B)$ 이다. 따라서 $T$는 선형변환이다.
4. 두 벡터 $A = (a, b), B = (c, d)$에 대한 $T$의 값은 각각 $T(A) = (a+1, b), T(B) = (c+1, d)$이고, $T(A) + T(B) = (a + c +2, b + d)$이다. 한편, $A + B = (a + c, b + d)$ 이고, $T(x, y) = (x + 1, y)$에 의해서 $T(A + B) = (a + c +1, b + d) \neq T(A) + T(B)$ 이다. 따라서 $T$는 선형변환이 아니다.

Question 2.    선형변환 $T: V -> W$에 관련된 서술로서 부적절한 것은?

1. $V'$를 $V$의 부분공간이라 하면 $T(V')$도 $V$의부분공간이다.
2. $Ker(T)$는 $V$의 부분공간이다.
3. $Ker(T)={O}$이면 $T$는 단사함수이다.
4. $dim V = dim Ker(T) + dim Im(T)를 만족한다.$

Solution

1. $V'$를 $V$의 부분공간이라 하면 $T(V')$는 $\color{red} W$의부분공간이다.

선형변환$ T: R3 -> R2 $가 $T(x,y,z)=(0,x)$로 주어졌을 때, 다음 물음에 답하라.

Question 3.    R3 와 R2 의 표준기저를 이용한 T의 행렬은?

1. $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right)$
2. $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0& 1\end{array}\right)$
3. $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
4. $\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 0\end{array}\right)$

Solution

4. $R^3$의 표준기저에 대한 $T$의 값을 각각 열벡터로 갖는 행렬을 구하면 된다.
   $\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 0\end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} 0\\ x \end{array}\right)$

Question 4.    Ker(T)를 구하면?

1. $\{ \ (x,0,0) | x∈R \ \}$
2. $\{ \ (0,y,z) | y,z∈R \ \}$
3. $\{ \ (x,y,z) | x,y,z∈R \ \}$
4. $\{ \ (0,0,0) \ \}$

Solution

2. $V, W$가 벡터공간이고, $L: V \to W$이 선형변환일 때, $L$에 의한 상이 $0$이 되는 $V$의 벡터 전체의 집합을 $L$의 핵(Kernel)이라 하고 $kerL$로 나타낸다.

Question 5. $dim Ker(T)$ 와 $dim Im(T)$를 순서대로 구한 것은?

1. 1, 2
2. 2, 1
3. 0, 3
4. 3, 0

Solution

2. $Ker (T)$가 $Ker(T) = \{(0, y, z) \in R^3 | (0, y, z) = y(0, 1,0) + z(0, 0, 1)\} $ 이므로 $dim Ker(T) = 2$가 되고$dim R^3 = 3$이므로 정리 10.3 ($dim V = dim Ker(T) + dim Im(T)$)에 따라서 $dim Im(T) = dim V - dim Ker(T) = 3 -2 = 1 $이다.

Question 6. 다음 선형변환 $T : R^3 -> R^3$ 중에서 동형변환인 것은?

1. $T(x,y,z)=(0,0,0)$
2. $T(x,y,z)=(y,0,z)$
3. $T(x,y,z)=(2x+y,y,y+z)$
4. $T(x,y,z)=(0,0,2x+y)$

Solution

3. 동형변환은 전단사 이어야 한다. 그러나 1,2, 4 번은 전사변환이 아니다.

Question 7. 주어진 사상이 선형변환인지를 판단하라.

1. $T: R^2 -> R^2 \quad T(x,y) = (3x+2, x-5y)$
2. $T: R^2 -> R^3 \quad T(x,y) = (x,y,0)$
3. $T: R^2 -> R \; \quad T(x,y) = |x|+|y| $

Solution

• 문제 1번 풀이 참조

Question 8. $R^2$에서 $R^3$로 가는 선형변환 $T$ 에 대해서 $T(1, 1) = (-1, 1, -1), \quad T(0, 1) = (0, 3, 2) $가 성립할 때 다음 물음에 답하여라.

1. $R^2$ 의 원소 (2, 5)의 $T$에 의한 상을 구하라.
2. $T(x,y) = (-3,0,-5)$를 만족하는 $R^2$ 의 원소 $(x, y)$를 구하여라.

Solution

1. $(2, 5) = k_1(1, 1) + k_2(0, 1) \\ = (k_1, k_1 + k_2) \\ = (k_1 = 2, k_1 + k_2 = 5) \\ ∴ k_1 = 2, k_2 = 3 $
   $T(x, y) = k_1 T(1, 1) + k_2 T(0, 1) \\ = 2(-1, 1, -1) + 3(0, 3, 2) \\ = (-2, 2, -2) + (0, 9, 6)\\ = \color{red}{(-2, 11, 4)} \longleftarrow T(2, 5)$
2. $(-3, 0, -5) = k_1(-1, 1, -1) + k_2(0, 3, 2) \\ = (-k_1, k_1 + 3k_2, -k_1 +2k_2) \\ = (-k_1 = -3, k_1 + 3k_2 = 0, -k_1 +2k_2 = -5) \\ ∴ k_1 = 3, k_2 = -1 $
   $(x, y) = k_1 (1, 1) + k_2 (0, 1) \\ = 3(1, 1) + (-1)(0, 1) \\ = (3, 3) + (0, -1)\\ = \color{red}{(3, 2)} \longleftarrow (x, y)$

Question 9. 다음 선형변환의 핵을 구하고 그 변환이 단사인지 판단하라.

1. $: R^2 -> R^2 \quad T(x,y) = (x+y,y)$
2. $T: R^3 -> R^3 \quad T(x,y,z) = (-3x,3y-7z,x+y)$
3. $T: R^2 -> R^2 \quad T(E1) = (0,1), T(E_2 = (0,0)$
4. $T: R^3 -> R^2 \quad T(x,y,z) = (x+y,0)$

Solution

1. $Ker \quad (T) = T^-1(O) = \{ A \in V : T(A) = 0 \}$이므로, $x + y = 0, y = 0 $이므로 $x = 0, y = 0$이 동시에 만족한다. 따라서 $Ker \quad (T) = {O}$이다.
   두개 이상의 같은 해가 존재 하므로 단사이다.
2. $마찬가지로 $-3x = 0, 3y-7z = 0, x + y = 0$을 동시에 만족하는 해는 $x = 0, y = 0, z = 0$뿐이다. 따라서 $Ker \quad (T) = {O}$이다.
   두개 이상의 같은 해가 존재 하므로 단사이다.
3. $T(x, y) = (0, x) $ 이며 $ \{(0, y) | y \in R\} $ 이다.

Question 1.