유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의
목차Ⅰ. 서 론
Ⅱ. 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의를 서술하시오
1. 유클리드의 수학사적 의의
2. 아르키메데스의 수학사적 의의
Ⅲ. 일반적인 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 것에 대하여 논하여라.
Ⅳ. "소수는 무한히 많다." 는 것을 3가지 다른 방법으로 증명하여라.
Ⅴ. $\sqrt [3]{2}$ 가 무리수임을 보이시오.
Ⅵ. 결 론
본문
Ⅰ. 서 론
유클리드는 알렉산드리아의 수학을 융성하게 만든 장본인이다. 그는 수학학교를 세우고 후학을 양성하는데 온 힘을 기울였다. 그는 공정하고 입바른 소리를 잘한 반면에, 친절한 성격도 지녔다고 한다. 한번은 당시 왕이었던 프톨레미 1세가 유클리드에게 기하학을 배우는 가장 좋은 방법이 무엇이냐고 물었었는데 “기하학에는 왕도가 없습니다.”라고 대답했다고 한다. 기하학원론은 19세기에 와서 그 지위가 축소되기 전까지는 수학과 과학을 지배했던 기하학텍스트로서 거의 2천년 동안 수학의 기간이 되어왔다. 이 책에는 기하학의 모든 내용이 총망라되어 있다.
아르키메데스의 업적 가운데서 포물선의 구적 및 호의 길이를 구하는 방법은 근세의 적분법의 싹을 엿볼 수 있는 것이었다. 아르키메데스와 거의 같은 시대에 활약하였던 아폴로니우스는 비례 절단’과 ‘원추곡선론’을 남겼으며 그 중에서 ‘원추곡선론’은 그의 최고의 걸작이기도 했다. 아르키메데스가 계량적인 기하학의 원리를 확립하여 미적분학을 원천적으로 개척하였던 데 대하여 아폴로니우스는 도형의 형태적 성질을 중시한 위치의 기하학의 기초를 돈독히 하였다. 아폴로니우스 이후의 그리스 수학은 갑자기 쇠퇴의 길을 밟기 시작하였다. 몇몇 수학자들이 아르키메데스나 아폴로니우스가 남긴 문제를 부분적으로 해결하려는 노력을 보이기는 하였다. 이를테면 파포스(년경)의 ‘수학집성’을 비롯한 몇 권의 주석서가 엮어졌고, 기하학이 천문학에 응용되었고, 평면, 구면 삼각법이 개발되었으나 삼각법을 제외하고는 중대한 성과도, 새로운 발상도 나오지 않았었다.
Euclid
유클리드가 이끌어낸 많은 성과는 일찍이 오래전의 수학자들에게 알려져 있었던 것이나,유클리드는 포괄적인 추론과 논리를 통해 그 명제들이 왜 성립할 수 있는가를 보인 최초의 인물이다.[2] 그의 《원론》은 평면 기하학과 함께 시작되며, 아직도 중등 수학교육에서는 최초의 공리계이자 최초의 정형화된 증명의 예로서 가르쳐지고 있다. 이는 3차원에서의 공간 기하학으로 계속해서 이어진다. 현재 대수학과 정수론으로 불리는 《원론》의 많은 결론들은 기하학적 언어로 표현되어 있다.
유클리드 기하학이 아닌 다른 종류의 기하학은 한 번도 생각된 적이 없었기 때문에 2천년 동안 "유클리드"라는 수식어는 필요하지 않았다. 유클리드의 공리는 어떤 정리도 유도해 낼 수 있을 만큼 직관적으로 매우 명백한 것으로 보였고, 절대적인 의미에서 참으로 간주되었다. 그러나 오늘날에는 자기 모순이 없는 많은 다른 비유클리드 기하학이 알려져 있고, 19세기 초에 그 중 최초가 개발되었다. 유클리드 공간은 중력장이 거의 작용하지 않는 공간에서만 실제 세계와 잘 들어맞는 근사적인 이론이라는 것이 아인슈타인의 일반 상대성이론에 함축되어 있다.
역사상 가장 유명하고 중요한 수학책은 단연 유클리드(Euclid, B.C. 259년경 활동)의 <기하학원론>이다. 유클리드가 지은 <기하학 원론>은 천 년 이상 기하학의 고전이었다. 오늘날 우리는 뉴턴의 만유인력의 법칙을 기술하는 수학으로 그와 라이프니츠가 만든 미적분법을 사용하지만 정작 뉴턴 자신은 유클리드의 기하학을 사용하여 자신의 법칙을 증명하였다. 열세 권으로 이루어진 <기하학 원론>은 이전의 여러 사람들, 특히 피타고라스와 에우독소스의 정리를 설명하여 편찬한 고대 기하학의 종합판이다. 기하학을 잘 하기 위한 방법이 무엇이냐는 왕의 질문에 "기하학에는 왕도가 없습니다"라고 대답했다는 유클리드의 삶은 거의 알려져 있지 않고, 다만 그가 헬레니즘 시대를 살았고 아르키메데스와 같은 시대를 살았다는 것과 알렉산드리아에서 수학을 가르쳤다는 것 정도만 알려져 있다. 유클리드는 <기하학 원론> 이외에 몇 가지 다른 저술을 남겼다. <자료론>과 <분할에 관하여>는 오늘날까지 전해지며, 기하학의 오류를 담은 <오류론>, 아폴로니우스가 내용을 덧붙인 <원추곡선론> 등은 후세의 주석에 의해서만 전해지고 있다. <기하학 원론>이 특히 중요한 이유는 이 책이 단순히 도형들에서 발견되는 여러 법칙을 서술한 것에서 벗어나 기본적인 공준과 공리에서 정(리)의를 이끌어 내고 이를 증명하기까지 했다는 점에 있다. 이러한 방법은 이후 수학적 논증의 기본적인 모델이 되었다.
http://www.chemmate.com/history/h7.htmArchimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli
매우 큰 수의 표현
“겔론 국왕은 모래알이 너무나 많기 때문에 무한한 것이라고 생각하였다. 그러나, 시라쿠사나 시칠리아 뿐만 아니라 지구 전체, 더 나아가 우주 전체를 모래알로 채운다고 하더라도 셀 수 있다. 수가 많다고 무한이라고 하는 것은 큰 수에 대해 아직 이름을 붙일 방법을 생각해내지 못했기 때문이다. 그러나 적당히 수를 부를 방법만 안다면 땅 전체의 무게나 제 아무리 깊은 바다의 깊이, 또는 가장 높은 산의 높이도 측정할 수 있다. 뿐만 아니라 적당한 단위로 묶어서 샌다면 그의 곱셈을 통해 제아무리 많은 모래알의 갯수도 신속하게 셈할 수 있다. 나는 이것을 독자 여러분이 인정할 수 있도록 기하학으로 증명하려 한다. 큰 수를 부르는 방법은 일전에 내가 제우시푸스에게 제시하였던 방법을 따를 것이다. 이 방법에 의하면 지구 전체를 채울 모래알의 수 뿐만 아니라 우주 전체를 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다." — Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli”
무리수의 계산
아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소수의 개념을 사용하였다. 그는 소거법을 사용하여 \pi의 근삿값을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 매우 많은 변을 갖는 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이 때 다각형의 변이 많아질 수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사하게 된다. 아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 \pi의 값을 다음과 같이 계산하였다.
도형의 넓이
아르키메데스는 《포물선의 구적법》에서 아래의 그림과 같이 포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이에 대해 4⁄3이 된다는 것을 증명하였다. 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면, 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다. 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다. 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 오른쪽 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다. 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다. $$\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \;$$ 지속적으로 분할되는 도형의 넓이를 모두 합하여 급수로 표현하는 것을 기하급수라고 한다. 위의 식에 표현된 기하급수의 공비(公比)는 1⁄4이다. 이 기하급수의 값을 증명하는 방법은 여러 가지가 있으나 여기서는 직관적으로 이해하기 쉬운 《수학 매거진》1999년 2월호 에 실린 그림을 소개한다.
일반적인 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 것에 대하여 논하여라.
군, 환, 체 의 정의
[군의 정의] G가 공집합이 아닌 임의의 집합이라 하자.
0. *가 집합 G위에서의 이항연산이라 함은 * : G×G -> G 를 만족하는 사상이다.
1. ∀a,b,c∈G : a*(b*c)=(a*b)*c
=> 이항연산 *는 결합적이다.
2. ∃e∈G ∀a∈G: a*e=a and e*a=a
=> G에는 이항연산 *에 대한 항등원이 존재한다.
3. ∀a∈G ∃a'∈G : a*a'=e and a'*a=e
=> G의 모든 원소 a∈G에 대하여 이항연산 *에 대한 역원이 존재한다.
위와 같은 1,2,3의 조건을 만족할 때, 집합 G와 이항연산 *를 함께 묶어서 군이라 한다. 표기 (G,*)
4. ∀a,b∈G : a*b=b*a를 만족할 때, (G,*)를 가환군(commutative group) 또는 아벨리안군(abelian group)이라 한다.
[환의 정의] R이 공집합이 아닌 임의의 집합이라 하자.
1-1. (R,+)는 가환군이다.
=> 이때, +에 대한 항등원을 0으로, a∈R의 +에 대한 역원을 -a로 표시함.
1-2. × : R×R -> R 은 집합 R위의 또다른 이항연산이다.
2. ∀a,b,c∈R : a×(b×c)=(a×b)×c
=> 이항연산 ×는 결합적이다.
3. ∀a,b,c∈R : a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
=> 분배법칙이 성립한다.
위와 같은 조건을 만족할 때, 집합 R과 이항연산 +,×를 함께 묶어서 환이라 한다. 표기 (R,+,×)
[체의 정의] F를 공집합이 아닌 임의의 집합이라 하자.
1. (F,+,×)은 환이다.
2. ∃1∈F ∀a∈F: a×1=a and 1×a=a
=> F에는 이항연산 ×에 대한 항등원이 존재한다. 이때, ×에 대한 항등원을 단위원이라고 함. 여기서 (F,+,×)을 단위원을 갖는 환이라고 함.
3. ∀a,b∈F : a×b=b×a
=> 이항연산 ×은 가환적(교환적)이다. 여기서 (F,+,×)을 단위원을 갖는 가환환이라고 함.
4. ∀a∈F ∃a'∈F : a×a'=1 and a'×a=1
=> 모든 원소 a∈F에 대하여 이항연산 ×에 대한 역원이 존재한다.
위와 같은 조건을 만족할 때, (F,+,×)를 체라 한다.
"소수는 무한히 많다." 는 것을 3가지 다른 방법으로 증명하여라.
"소수는 무한히 많다." 는 것을 3가지 다른 방법으로 증명하여라.
본문내용
4차 방정식 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유는?
Ⅳ. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명하라
1. 메넬라우스 정리
2. 체바의 정리
3. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명
Ⅴ. 자신의 생일(12월 14일)을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식을 만들어 보라.(단, 3월 1일은 03월 01일로 나타낸다.)
Ⅵ. 결 론
[참고 자료]
Ⅰ. 서 론
유클리드는 알렉산드리아의 수학을 융성하게 만든 장본인이다.
그는 수학학교를 세우고 후학을 양성하는데 온 힘을 기울였다. 그는 공정하고 입바른 소리를 잘한 반면에, 친절한 성격도 지녔다고 한다.
한번은 당시 왕이었던 프톨레미 1세가 유클리드에게 기하학을 배우는 가장 좋은 방법이 무엇이냐고
참고문헌
나까다 노리오, 오희옥 역, 수학 역사기행, 경문사, 2003
찰스 밴 도렌, 박중서 역, 지식의 역사, 갈라파고스, 2010
배종수, 신항균, 현대수학의 이해, 경문사, 2010
데이비드 벌린스키, 김하락 역, 수학의 역사, 을유문화사, 2007
편집부, 수학의이해, 한국방송통신대학교, 2011
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